Question

已知數列{a_n}是一個等差數列，且a₂=1，a₅=-5．
（1）求{a_n}的通項a_n；
（2）求{a_n}前n項和S_n的最大值；
（3）設b_n=

1

(4-an)(4-an+1)

，數列{b_n}的前n項的和記為B_n，求證B_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用方程思想，求出首項與公差，即可求{a_n}的通項a_n；
（2）利用配方法，即可求{a_n}前n項和S_n的最大值；
（3）利用裂項求和，即可證明結論．

解答： （1）解：設{a_n}的公差為d，…（1分）
由已知條件，

a1+d=1 a1+4d=-5

，…（2分）
解出a₁=3，d=-2．…（3分）
所以a_n=-2n+5．…（4分）
（2）解：S_n=

n(3-2n+5)

2

=-n²+4n=4-（n-2）²．…（6分）
所以n=2時，S_n取到最大值4．…（8分）
（3）證明：b_n=

1

(4-an)(4-an+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），…（10分）
B_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

＞

1

2

…（12分）

點評：本題考查等差數列的通項與求和，考查裂項法的運用，確定數列的通項是關鍵．