Question

已知首項為

1

2

的等比數列{a_n}是遞減數列，其前n項和為S_n，且S₁+a₁，S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，求滿足不等式16（T_n+2）≥n+2的最大的n值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由題知a1=

1

2

，且S1+a1 ，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列，從而得到S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，進而

3

2

q=

1

2

+q2，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由于b_n=a_n•log₂a_n=-n•（

1

2

）ⁿ，利用錯位相減法求出T_n=(n+2)(

1

2

)n-2，由16（T_n≥n+2，求出最大的n值是4．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
由題知a1=

1

2

，且S1+a1 ，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列．
解得2（S₂+a₂）=S₁+a₁+S₃+a₃，
變形，得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，
得3a₂=a₁+2a₃，所以

3

2

q=

1

2

+q2，
解得q=

1

2

或q=1，又等比數列{a_n}是遞減數列，
所以q=

1

2

，數列{a_n}的通項公式a_n=（

1

2

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）由于b_n=a_n•log₂a_n=-n•（

1

2

）ⁿ，
所以數列{b_n}的其前n項和為T_n為
Tn=-[1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n]，①

1

2

Tn=-[1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1]，
①-②得

1

2

Tn=-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1]
=n×(

1

2

)n+1-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

，
∴T_n=(n+2)(

1

2

)n-2，
由16（T_n≥n+2，得n≤4，滿足不等式
16（T_n+2）≥n+2的最大的n值是4．…（13分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足不等式的最大項數的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用．