Question

若方程

3

sinx+cosx=a+1在[0，π]上有根，則a范圍為

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由

3

sinx+cosx=a+1得：a=

3

sinx+cosx-1=2sin（x+

π

6

）-1，利用正弦函數的單調性質可求得x∈[0，π]時，a的取值范圍．

解答： 解：∵a=

3

sinx+cosx-1=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1=2sin（x+

π

6

）-1，
∵x∈[0，π]，
∴x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin（x+

π

6

）∈[-1，2]，2sin（x+

π

6

）-1∈[-2，1]．
∴a∈[-2，1]．
故答案為：[-2，1]．

點評：本題考查兩角和的正弦，考查正弦函數在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．