Question

已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+1（n≥2）且a₁=1，b_n=log₂（a_2n+1+1），c_n=

1

b 2 n

-1
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{c_n}的前n項和s_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）把已知的數列遞推式a_n=2a_n-1+1變形，得到a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），由此得到數列{a_n+1}為等比數列，求其通項公式后可得數列數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項公式代入b_n=log₂（a_2n+1+1），進一步代入c_n=

1

b 2 n

-1，然后由裂項相消法求和．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n=2a_n-1+1（n≥2），知a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
又a₁+1=2≠0，
∴{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，
故an+1=2•2n-1=2n，
∴an=2n-1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=log₂（a_2n+1+1）=2n+1，
c_n=

1

b 2 n

-1=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比數列的確定，訓練了裂項相消法求數列的和，是中檔題．