Question

10．函數f（x）=x²+bx-1（b∈R）．
（Ⅰ）若函數y=f（x）在[1，+∞）上單調，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）|-2有四個零點，求b的取值范圍；
（Ⅲ）若函數y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），求g（b）的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數f（x）=x²+bx-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{b}{2}$為對稱軸的拋物線，若函數y=f（x）在[1，+∞）上單調，則-$\frac{b}{2}$≤1，解處b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）|-2有四個零點，則$1+\frac{{b}^{2}}{4}＜2$，解得b的取值范圍；
（Ⅲ）若函數y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），結合二次函數的圖象和性質分類討論，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x²+bx-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{b}{2}$為對稱軸的拋物線，…（2分）
∵y=f（x）在[1，+∞）上單調，
∴-$\frac{b}{2}$≤1，
即：b≥-2…．（5分）
（Ⅱ）函數y=|f（x）|-2有四個零點，即函數y=|f（x）|與直線y=2有四個交點，
∵$f（x）={x^2}+bx-1={（x+\frac{b}{2}）^2}-1-\frac{b^2}{4}$的最小值為$-1-\frac{{b}^{2}}{4}$
∴只需$1+\frac{{b}^{2}}{4}＜2$   即：b∈（-1，1）…．（10分）
（Ⅲ）①當b＞0時，函數y=|f（x）|在[0，b）上單調增，
g（b）=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b²-1|}=$\left\{\begin{array}{l}1，0＜b＜1\\ 2{b}^{2}-1，b≥1\end{array}\right.$…（12分）
②當b＜0時，|f（0）|=f（|b|）=1，$f（-\frac{b}{2}）=-1-\frac{b^2}{4}$
又$\left|f（-\frac{b}{2}）\right|=1+\frac{{b}^{2}}{4}$＞1，所以g（b）=$1+\frac{{b}^{2}}{4}$…（14分）
綜上所述，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}2{b}^{2}-1，b≥1\\ 1，0＜b＜1\\ 1+\frac{{b}^{2}}{4}，b＜0\end{array}\right.$；…（15分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．