Question

5．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，正視圖和側視圖是全等的等腰三角形則此三棱錐的體積為：$\frac{4}{3}$cm³，此三棱錐的外接球表面積為：9πcm²．

Answer 1

分析 由已知可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，代入棱錐體積公式，可得棱錐的體積；計算出棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式，可得球的表面積．

解答 解：由已知可得：
該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，
其體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×2=$\frac{4}{3}$，
設其外接球半徑為R，
則（R-2）²+（$\sqrt{2}$）²=R²，
解得：R=$\frac{3}{2}$，
故此三棱錐的外接球表面積S=4πR²=9π，
故答案為：$\frac{4}{3}$，9π

點評 本題考查的知識點是棱錐的體積和表面積，球的體積和和表面積，根據已知分析出幾何體的形狀，是解答的關鍵．