Question

15．某校高一學生共有500人，為了了解學生的歷史學習情況，隨機抽取了50名學生，對他們一年來4次考試的歷史平均成績進行統計，得到頻率分布直方圖如圖所示，后三組頻數成等比數列．
（1）求第五、六組的頻數，補全頻率分布直方圖；
（2）若每組數據用該組區間中點值（例如區間[70，80）的中點值是
75作為代表），試估計該校高一學生歷史成績的眾數，中位數和平均分．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖中利用縱坐標乘以組距求出第四組的頻率，利用頻率乘以樣本容量求出頻數，利用等比數列的中項列出方程求出第五、六組的頻數．
（2）由頻率分步直方圖知用每組的中間值作為每組中的樣本數據，直接計算平均成績，根據中位數的左右兩邊矩形面積相等，來求中位數，眾數就是分布圖里最高的那條，即[60，70]的中點橫坐標65．

解答 解：（1）設第五、六組的頻數分別為x，y，由題設得，第四組的頻數是0.024×10×50=12，
則x²=12y，
又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50，即x+y=9，
∴x=6，可得：y=3．
補全頻率分布直方圖如下：

（2）該校高一學生歷史成績的平均分$\overline{x}$=（45×0.012+55×0.016+65×0.030+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6，
由0.12+0.16=0.28，0.12+0.16+0.3=0.58，
可知中位數在第三小組內，設這次考試的中位數為x，
則0.12+0.16+0.030（x-60）=0.5，解得x=67.3，故中位數為67.3．
眾數就是分布圖里最高的那條，即[60，70]的中點橫坐標65，故眾數為65，

點評 本題主要考查了頻率分布直方圖、用樣本估計總體、等可能事件的概率，同時考查了作圖能力，從頻率分布直方圖中獲取的相關的數據，并正確的處理解答本題的關鍵．屬于中檔題．