Question

6．已知點P（t，t），點M是圓O₁：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$上的動點，點N是圓O₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$上的動點，則|PN|-|PM|的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{5}$-2
• C． 2+$\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 先根據兩圓的方程求出圓心和半徑，結合圖形，把求PN-PM的最大值轉化為PO₂-PO₁+1的最大值，再利用PO₂-PO₁=PO₂-PO₁′≤O₁′O₂=1，即可求出對應的最大值．

解答 解：如圖所示，

圓O₁：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$的圓心O₁（0，1），
圓O₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$的圓心O₂（2，0），這兩個圓的半徑都是$\frac{1}{2}$；
要使PN-PM最大，需PN最大，且PM最小，
由圖可得，PN最大值為PO₂+$\frac{1}{2}$，
PM的最小值為PO₁-$\frac{1}{2}$，
故PN-PM最大值是（PO₂+$\frac{1}{2}$）-（PO₁-$\frac{1}{2}$）=PO₂-PO₁+1，
點P（t，t）在直線 y=x上，O₁（0，1）關于y=x的對稱點O₁′（1，0），
直線O₂O₁′與y=x的交點為原點O，
則PO₂-PO₁=PO₂-PO₁′≤O₁′O₂=1，
故PO₂-PO₁+1的最大值為1+1=2，
即|PN|-|PM|的最大值為2．
故選D．

點評 本題考查了直線與圓的方程的綜合應用問題，主要考查圓的標準方程，點與圓的位置關系，體現了轉化及數形結合的數學思想，是綜合性題目．