Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點，
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁
（2）求二面角C-AB-C₁的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接DE，證明DE∥AC₁-，利用直線與平面平行的判定定理證明AC₁∥平面CDB₁
（2）過點C作AB的垂線CF交AB于點F，連C₁F說明∠CFC₁為C-AB-C₁的平面角，利用等積法可得FC，在Rt△C₁CF中，解三角形即可求二面角C-AB-C₁的正切值．

解答： （本題14分）
解：（1）連接DE，由題意可知：DE為△ABC₁的中位線，
可知DE∥AC₁----（3分）
由

AC1?平面CDB1 DE?平面CDB1 DE∥AC1

⇒AC₁∥平面CDB----（4分）
（2）過點C作AB的垂線CF交AB于點F，連C₁F
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴CC₁⊥AB，又由AB⊥CF且CC₁∩CF=C
∴AB⊥平面CFC₁，∴AB⊥FC₁------（2分）
于是有

AB⊥FC1 AB⊥FC FC∩FC1=F

⇒∠CFC₁為C-AB-C₁的平面角----（2分）
題意以及等積法可得FC=

3×4

5

=

12

5

在Rt△C₁CF中，CC₁=4，CF=

12

5

∴tan∠CFC₁=

4

12 5

=

5

3

．
∴二面角C-AB-C₁的正切值為

5

3

-----（3分）

點評：本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判斷，考查空間想象能力以及計算能力．