Question

已知E為圓C：(x+

3

)2+y2=16上的任意一點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

，0)線段AE的垂直平分線與直線CE相交于點(diǎn)Q（C點(diǎn)為圓心）．
（Ⅰ）當(dāng)E點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡M的方程；
（Ⅱ）若一直線與曲線M相交于P，Q兩點(diǎn)，且直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）連結(jié)QA，根據(jù)題意可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡M是以A，C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即可求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡M的方程．
（Ⅱ）根據(jù)直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求出直線方程，求出點(diǎn)O到直線l的距離，由此能求出S_△OPQ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由圓的方程可知，圓心C（-

3

，0），A(

3

，0)，半徑等于4，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y ），
∵線段AE的垂直平分線與直線CE相交于點(diǎn)Q，
∴|QA|=|EQ|． 
又|CQ|+|QE|=4（半徑），
∴|QC|+|QA|=4＞|AC|=2．
∴點(diǎn)Q的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4，c=

3

，
∴a=2，b=1，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2+4y2=1

，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
則x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2，
即km(x1+x2)+m2=0，則-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由于m≠0，故k²=

1

4

⇒k=±

1

2

，
∴直線l的斜率k為±

1

2

．
（3）∵直線OQ的斜率存在且不為0，及△＞0
∴0＜m²＜2，且m≠1．
設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，
則S△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|m|

1+k2

•

1+k2

|x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2(2-m2)

，
則S_△OPQ＜

m2+2-m2

2

=1，
∴S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．