Question

17．已知f（x）=$\frac{x}{e^x}$，定義f₁（x）=f'（x），f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…f_n+1（x）=f_n′（x），經計算f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}，{f_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}，{f_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}$，…，則f_n（x）=$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 由已知中定義f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．…，結合f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}，{f_2}（x）=\frac{x-2}{e^x}，{f_3}（x）=\frac{3-x}{e^x}$，…，分析出f_n（x）解析式隨n變化的規律，可得答案

解答 解：∵f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，
f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，
f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，
…，
由此歸納可得：f_n（x）=$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$，
故答案為：$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．