Question

16．給出下列結論：
①y=x²+1，x∈[-1，2]，y的值域[2，5]是；
②冪函數圖象一定不過第四象限；
③函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，0）；
④若log_a$\frac{1}{2}$＞1，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）；
⑤函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$是既奇又偶的函數；
其中正確的序號是②④⑤．

Answer 1

分析 對于①，當x∈[-1，2]時，可求得y=x²+1的值域[1，5]，可判斷①錯誤；
對于②，當x＞0時，y=x^α＞0，冪函數圖象一定不過第四象限，可判斷②正確；
對于③，函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，-1），可判斷③的錯誤；
對于④，由log_a$\frac{1}{2}$＞1可求得$\frac{1}{2}$＜a＜1，可判斷④正確
對于⑤，由函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$的定義域為{-1，1}，值域為{0}，可判斷⑤正確．

解答 解：對于①，當x∈[-1，0]時，y=x²+1為減函數，
當x∈（0，2]時，y=x²+1為增函數，
故當x=0時，y_min=1；x=2時，y_max=5，
因此，y的值域為[1，5]，故①錯誤；
對于②，冪函數y=x^α中，當x＞0時，y=x^α＞0，其圖象一定不過第四象限，故②正確；
對于③，當x=1時，函數f（x）=log_a（2x-1）-1=-1，即函數f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點（1，-1），故③錯誤；
對于④，若log_a$\frac{1}{2}$＞1，則$\frac{1}{2}$＜a＜1，即a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1），故④正確；
對于⑤，函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$的定義域由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{1{-x}^{2}≥0}\end{array}\right.$解得為{-1，1}，滿足f（-1）=f（1）=0，f（-1）=-f（1）=0，故函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+$\sqrt{1-{x}^{2}}$是既奇又偶的函數，故⑤正確；
，綜上所述，其中正確的序號是 ②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、圖象、過定點等性質，熟練掌握基本初等函數的性質是解解問題的關鍵，屬于中檔題．