Question

16．已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）過點P（4，1）．
（1）求橢圓方程；
（2）不垂直于坐標軸的直線l交橢圓于A，B兩點，直線PA與直線PB斜率之和為-2，求證：直線AB恒與x軸交于定點M，并求出點M坐標．

Answer 1

分析 （1）根據已知，構造關于a，b，c的方程組，解得橢圓標準方程．
（2）設直線AB的方程為：x=my+p，根據直線PA與直線PB斜率之和為-2，可證得直線AB恒與x軸交于定點M（5，0）．

解答 解：（1）∵離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）過點P（4，1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\\ \frac{16}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=20\\{b}^{2}=5\\{c}^{2}=15\end{array}\right.$，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
證明：（2）設直線AB的方程為：x=my+p，
代入$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$得：（m²+4）y²+2mpy+p²-20=0
則△=4m²p²-4（m²+4）（p²-20）＞0，即5（m²+4）-p²＞0，
y₁+y₂=$\frac{-2mp}{{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{{p}^{2}-20}{{m}^{2}+4}$，
由直線PA與直線PB斜率之和為-2得：
 $\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}-4}$
=$\frac{{y}_{1}-4}{{my}_{1}+p-4}$+$\frac{{y}_{2}-4}{{my}_{2}+p-4}$
=$\frac{{{2m}^{\;}y}_{1}{y}_{2}+（p-4-m）（{y}_{1}+{y}_{2}）-2（p-4）}{{{m}^{2}y}_{1}{y}_{2}+m（p-4）（{y}_{1}+{y}_{2}）+（p-4）^{2}}$
=$\frac{2m{（p}^{2}-20）+（p-4-m）（-2pm）-2（p-4）（{m}^{2}+4）}{{{m}^{2}}_{\;}（{p}^{2}-20）+m（p-4）（-2pm）+{（p-4）}^{2}（{m}^{2}+4）}$=-2，
整理得：p²-9p+20+（p-5）m=0，
即（p-5）（m+p-4）=0，
解得：p=5，或p=-m+4，
當p=5時，直線AB的方程為：x=my+5恒過（5，0）點，
當p=-m+4時，直線AB的方程為：x=my-m+4恒過（4，1）點（舍去）；
綜上可得：直線AB恒與x軸交于定點M（5，0）．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程和橢圓的簡單性質，難度中檔．