Question

6．若4^x+2^x+1+m＞1對一切實數x成立，則實數m的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 依題意，分離參數，可得-m＜4^x+2^x+1-1對一切實數x成立，構造函數f（x）=4^x+2^x+1-1=（2^x+1）²-2，利用指數函數的性質可知f（x）＞-1，于是有-m≤-1，解之即可．

解答 解：∵4^x+2^x+1+m＞1對一切實數x成立，
∴-m＜4^x+2^x+1-1對一切實數x成立，
令f（x）=4^x+2^x+1-1=（2^x+1）²-2，
∵2^x＞0，
∴（2^x+1）²-2＞-1，即f（x）＞-1，
∴-m≤-1，
即m≥1．
故答案為：[1，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，分離參數是關鍵，突出考查等價轉化思想與構造函數思想，考查配方法與指數函數的性質，屬于中檔題．