Question

16．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{m}}$-lnx．
（Ⅰ）設x=1是函數f（x）的極值點，求m的值并討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當m≤-2時，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數，利用x=1是函數f（x）的極值點，即可求m的值，通過導函數的符號討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）利用函數的恒成立，通過放縮法逐步推出結果即可．

解答 （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{e^x}{e^m}-\frac{1}{x}，（x＞0）$，x=1是函數f（x）的極值點，即$\frac{e}{{e}^{m}}-1=0$，所以m=1． …（2分）
于是函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{m}}$-lnx=$\frac{{e}^{x}}{e}$-lnx，f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{e}$-$\frac{1}{x}$，
由f′（x）=0，可得x=1，
因此，當x∈（0，1）時，f'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，
所以，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．  …（6分）
（Ⅱ）當m≤-2時，對于任意x∈（0，+∞），e^x≥x+1恒成立，又x∈（0，+∞），x≥lnx恒成立，
∴e^x-m≥e^x+1＞e^x≥x+1＞x≥lnx，即e^x-m＞lnx，
∴e^x-m-lnx＞0．
即f（x）＞0．

點評 本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，函數在某點取得極值的條件，熟練掌握導數在求函數定義域，及函數最值時的功能是解答的關鍵．考查放縮法的應用．