Question

1．已知函數f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{m{x}^{2}+（m+n）x+1}{2}$（x∈R），且f（x）有兩個極值點x₁，x₂，滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），點P（m，n）在平面直角坐標系中表示的平面區域為D，若函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D內的點，則實數a的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到關于m，n的不等式組，畫出滿足條件的平面區域，結合圖象求出a的范圍即可．

解答 解：求導函數可得f'（x）=x²+mx+$\frac{1}{2}$（m+n），
依題意知，方程f'（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
構造函數f（x）=x²+mx+$\frac{1}{2}$（m+n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n＞0}\\{2+3m+n＜0}\end{array}\right.$，
如圖示：

∵直線m+n=0，2+3m+n=0的交點坐標為（-1，1）
∴要使函數y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區域D上的點，
則必須滿足1＜log_a（-1+4）
∴log_a3＜1，解得a＜3
又∵a＞1，
∴1＜a＜3，
故答案為：（1，3）．

點評 本題考查了線性規劃問題，考查導數的應用以及對數函數的性質，是一道中檔題．