Question

10．已知拋物線C：y²=kx（k＞0）的焦點為F，點N為拋物線上的動點，點$M（{1，\sqrt{2}}）$不在拋物線上．
（1）若k=4，求|MN|+|NF|的最小值；
（2）設(shè)p：2k²-11k+5＜0，q：線段MF與拋物線C有公共點，若p∧q是真命題，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若k=4，利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化，即可求|MN|+|NF|的最小值；
（2）分別求出p，q為真時，k的取值范圍，再利用p∧q為真命題，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）當k=4時，點M在拋物線C的內(nèi)部，
過N作拋物線C的準線的垂線，垂足為A，則|AN|=|NF|．∴|MN|+|NF|=|MN|+|AN|，
當A，N，M三點共線時，|MN|+|AN|取最小值2，即|MN|+|NF|的最小值為2．…（6分）
（2）若p是真命題，則（2k-1）（k-5）＜0，∴$\frac{1}{2}＜k＜5$．…（8分）
若q是真命題，則點M在拋物線的外部，∴$\sqrt{k}＜\sqrt{2}$，得0＜k＜2，…（10分）
又p∧q為真命題，∴$\frac{1}{2}＜k＜2$．
所以k的取值范圍是$（\frac{1}{2}，2）$．

點評 本題考查拋物線的定義，考查復合命題的真假研究，解題的關(guān)鍵是求出p，q為真時，k的取值范圍．