Question

20．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+a\;\;\;\;\;x≥0\\{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，其中a∈R．
（1）若a=0，解不等式f（x）≥$\frac{1}{4}$；
（2）已知函數y=f（x）存在反函數，其反函數記為y=f^-1（x）．若關于x的不等式：f^-1（4-a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，分類討論滿足f（x）≥$\frac{1}{4}$的x值，可得答案；
（2）若f^-1（4-a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，則f^-1（4-a）≤a，進而得到實數a的取值范圍．

解答 解：（1）a=0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
∵$f（x）≥\frac{1}{4}$，
∴當x≥0時，f（x）=x²$≥\frac{1}{4}$，解得x≥$\frac{1}{2}$；
當x＜0時，f（x）=${2}^{x}≥\frac{1}{4}$，解得-2≤x＜0；
綜上，不等式$f（x）≥\frac{1}{4}$的解集為{x|-2≤x＜0或x≥$\frac{1}{2}$}；
（2）若函數y=f（x）存在反函數，
則函數f（x）在R為單調函數，則a≥1，
此時函數f（x）在R為單調遞增函數，
x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=a；
此時f^-1（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-a}，x≥1\\{log}_{2}x，0＜x＜1\end{array}\right.$在（0，+∞）上也為增函數，
若關于x的不等式：f^-1（4-a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}4-a＞0\\{f}^{-1}（4-a）≤a\end{array}\right.$，
當0＜4-a＜1，即3＜a＜4時，log₂（4-a）≤a恒成立，
當4-a≥1，即1≤a≤3時，解：$\sqrt{4-2a}≤a$得：-1+$\sqrt{5}$≤a≤2
綜上可得：a∈[-1+$\sqrt{5}$，2]∪（3，4）．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，反函數，函數恒成為問題，轉化思想，分類討論思想，難度中檔．