Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b∈N^*）的左、右焦點分別為F₁，F₂，P為雙曲線右支上一點，且|PF₁|•|PF₂|=4（4+b²），若|PF₂|＜4，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a=2，運用雙曲線的定義和條件，求得b的不等式，求得正整數解，可得c，由離心率公式計算即可得到．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b∈N^*）的a=2，
由P為雙曲線右支上一點，
可得|PF₁|-|PF₂|=2a=4，
且|PF₁|•|PF₂|=4（4+b²），
（4+|PF₂|）•|PF₂|=4（4+b²），
由|PF₂|＜4，可得4（4+b²）＜32，
可得-2＜b＜2，b∈N^*，
即有b=1，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，主要是離心率，主意運用定義法，考查運算能力，屬于中檔題．