Question

【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，若對(duì)于任意的正整數(shù)，存在，使得、、成等比數(shù)列，則稱函數(shù)為“型”數(shù)列.

（1）若是“型”數(shù)列，且，，求的值；

（2）若是“型”數(shù)列，且，，求的前項(xiàng)和；

（3）若既是“型”數(shù)列，又是“型”數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】(1)2；(2) (3)見(jiàn)證明

【解析】

（1）根據(jù)已知是“型”數(shù)列，即成等比數(shù)列，那么可知是等比數(shù)列，由條件可直接求出，進(jìn)而得的值；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)已知可計(jì)算出，由此得到；（3）先寫(xiě)出時(shí)的“型”數(shù)列和“型”數(shù)列，公比分別為和，再寫(xiě)出和時(shí)的“型”數(shù)列，公比分別為和，根據(jù)數(shù)列中的公共項(xiàng)可得公比之間的關(guān)系，再由時(shí)的3個(gè)“型”數(shù)列的通項(xiàng)公式，可推得是等比數(shù)列。

解：（1）由是“”數(shù)列，所以成等比，所以成等比數(shù)列，且公比，

則

（2）由是“”數(shù)列，所以成等比，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：；

由是“”數(shù)列，所以成等比，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：；

（3）由是“”數(shù)列，所以成等比，

設(shè)其公比為，又是“”數(shù)列，則成等比數(shù)列，設(shè)其公比為，同理，設(shè)的公比為，的公比為（。

那么，所以。

當(dāng)時(shí)，，

，

。

綜上得：，，所以是等比數(shù)列