Question

【題目】已知函數（為常數，且），且數列是首項為，公差為的等差數列．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若，當時，求數列的前項和的最小值；

（3）若，問是否存在實數，使得是遞增數列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由題意得出，利用對數運算得出，然后計算出為非零常數，利用等比數列的定義可證明出數列是等比數列；

（2）求出和，利用分組求和法得出，然后分析數列為單調遞增數列，可得出該數列的最小值為，由此可得出結果；

（3）求出，由數列是遞增數列，得出，可得出，然后分和兩種情況分類討論，利用不等式的性質和參變量分離法可得出實數的取值范圍.

（1）證明：由題意，

即，得，且，．

常數且，為非零常數，

數列是以為首項，為公比的等比數列；

（2）當時，，，.

.

，數列是遞增數列，

因而最小值為；

（3）由（1）知，，要使對一切成立，

即對一切成立．

當時，，對一切恒成立；

當時，，對一切恒成立，只需，

單調遞增，當時，．

，且，．

綜上所述，存在實數滿足條件．