Question

12．△A_nB_nC_n的三邊長為a_n，b_n，c_n（n=1，2，3…），其中a_n=2．若b₁+c₁=2a₁，${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{c_n}}}{2}$，${c_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}$，則∠A_n的最大值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據數列的遞推關系得到b_n+c_n=2a₁為常數，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到結論．

解答 解：∵${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{c_n}}}{2}$，${c_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}$，a_n=2，
∴b_n+1+c_n+1=2+$\frac{{b}_{n}+{c}_{n}}{2}$，
又b₁+c₁=2a₁，
∴當n=1時，b₂+c₂-2a₁=$\frac{1}{2}$（b₁+c₁-2a₁）=0，
當n=2時，b₃+c₃-2a₁=$\frac{1}{2}$（b₂+c₂-2a₁）=0，
…
∴b_n+c_n-2a₁=0，
即b_n+c_n=2a₁為常數，
∵b_n-c_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1（b₁-c₁），
∴當n→+∞時，b_n-c_n→0，即b_n→c_n，
則由基本不等式可得b_n+c_n=2a₁≥2$\sqrt{{b}_{n}{c}_{n}}$，
∴b_nc_n$≤{{a}_{1}}^{2}$，
由余弦定理可得a_n²=（b_n+c_n）²-2b_nc_n-2b_nc_ncosA_n，
即（a₁）²=（2a₁）²-2b_nc_n（1+cosA_n），
即2b_nc_n（1+cosA_n）=3（a₁）²≤2（a₁）²（1+cosA_n），
即3≤2（1+cosA_n），
解得cosA_n≥$\frac{1}{2}$，
∴0＜A_n≤$\frac{π}{3}$，
即∠A_n的最大值是$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查數列以及余弦定理的應用，利用基本不等式是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大，難度較大．