Question

（本題滿分15分）已知拋物線，圓，過點作直線，自上而下依次與上述兩曲線交于點（如圖所示），．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）作關于軸的對稱點，求證： 三點共線；

（Ⅲ）作關于軸的對稱點，求到直線的距離的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）到直線的距離的最大值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求，由題意可知，是焦點弦，可由焦半徑來求，故設，，有焦半徑公式可得，由拋物線方程得，故可設直線方程為，代入拋物線方程，得，有根與系數關系可得，可求得的值；（Ⅱ）求證： 三點共線，只需證明與共線，由題意知，故可寫出與的坐標，由共線向量的充要條件可知，只要證明與的坐標的交叉積等于零即可，可利用（Ⅰ）中條件證得；（Ⅲ）作關于軸的對稱點，求到直線的距離的最大值，將直線，代入圓方程，求得點的坐標，從而可得點，利用點到直線距離得，利用基本不等式即可求出點到直線的距離的最大值.

試題解析：（Ⅰ）設直線，代入拋物線方程，得.

設，，根據拋物線定義得，

故，，所以，

而，代入上式，得；

（Ⅱ）由題意，，由（1），，

，三點共線；

（Ⅲ）將直線，代入圓方程，得.，

點到直線的距離

． .

考點：拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，對稱問題，點到直線距離.