Question

5．已知f（x）=ax²+x-a．a∈R
（1）若不等式f（x）＜b的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞），求a，b的值；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）由題意可得方程ax²+x-a-b=0的兩根分別為-1、3，且a＜0，利用韋達定理，可得a，b的值；
（2）若a＜0，等式為ax²+x-（a+1）＞0，即$（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$，分類討論，可得不同情況下不等式的解集．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由題意可得方程ax²+x-a-b=0的兩根分別為-1、3，且a＜0  …（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}-1+3=-\frac{1}{a}\\-1×3=\frac{-a-b}{a}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}\right.$…（4分）
（2）若a＜0，不等式為ax²+x-（a+1）＞0，即$（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$…（6分）
∵$1-（-\frac{a+1}{a}）=\frac{2a+1}{a}=0⇒a=-\frac{1}{2}$．
∴當$a＜-\frac{1}{2}$時，$-\frac{a+1}{a}＜1$，不等式的解集為$（-\frac{a+1}{a}，1）$； …（8分）
當$a=-\frac{1}{2}$時，$-\frac{a+1}{a}=1$，不等式的解集為∅； …（10分）
當$-\frac{1}{2}＜a＜0$時，$-\frac{a+1}{a}＞1$，不等式的解集為$（1，-\frac{a+1}{a}）$…（12分）
（如上，沒有“綜上所述…”，不扣分，但解集表達不規范每處扣（1分），最多累計扣2分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．