Question

17．已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點M，圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點．
（1）過M點的直線l₁交圓于P、Q兩點，且圓孤PQ恰為圓周的$\frac{1}{4}$，求直線l₁的方程；
（2）若橢圓中a，c滿足$\frac{a^2}{c}$=2，求中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（3）過M點作直線l₂與圓相切于點N，設（2）中橢圓的兩個焦點分別為F₁，F₂，求三角形△NF₁F₂面積．

Answer 1

分析 （1）由PQ為圓周的$\frac{1}{4}$，可得$∠POQ=\frac{π}{2}$．O點到直線l₁的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（2分）再利用點到直線的距離公式即可得出．
（2）設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，半焦距為c，則$\frac{a^2}{c}=2$，利用橢圓與圓的對稱性質即可得出．
（3）設切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，N點的坐標為$（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵PQ為圓周的$\frac{1}{4}$，∴$∠POQ=\frac{π}{2}$．∴O點到直線l₁的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（2分）
設l₁的方程為y=k（x+2），∴$\frac{|2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴${k^2}=\frac{1}{7}$．∴l₁的方程為$y=±\frac{{\sqrt{7}}}{7}（x+2）$．…（5分）
（2）設橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，半焦距為c，則$\frac{a^2}{c}=2$．∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，根據橢圓與圓的對稱性
則a=1或b=1．…（6分）
當a=1時，$c=\frac{1}{2}，{b^2}={a^2}-{c^2}=\frac{3}{4}$，∴所求橢圓方程為${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$；…（8分）
當b=1時，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2．
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（10分）
（3）設切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
N點的坐標為$（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，…（11分）
若橢圓為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．其焦點F₁，F₂
分別為點A，B故${S_{△N{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（13分）
若橢圓為${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$，其焦點為${F_1}（-\frac{1}{2}，0），{F_2}（\frac{1}{2}，0）$，
此時${S_{△N{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（16分）

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、圓的切線的性質、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．