Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右頂點分別為A、B，F為橢圓C的右焦點，圓x²+y²=4上有一動點P，P不同于A，B兩點，直線PA與橢圓C交于點Q，則$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$焦點在x軸上，由P在圓x²+y²=4上，則PA⊥PB，則k_AP•k_PB=-1，可得k_PB=-$\frac{1}{{k}_{AP}}$，$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{-\frac{1}{{k}_{AP}}}{{k}_{QF}}$=-$\frac{1}{{k}_{AP}•{k}_{QF}}$，設Q（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），則k_AP•k_QF=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$•$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-1}$=$\frac{3（1-co{s}^{2}θ）}{4co{s}^{2}θ+2cosθ-2}$，設t=cosθ，t∈（-1，1），則f（t）=$\frac{3（1-{t}^{2}）}{4{t}^{2}+2t-2}$，進而得出．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$焦點在x軸上，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，右焦點F（1，0），
由P在圓x²+y²=4上，則PA⊥PB，
則k_AP•k_PB=-1，則k_PB=-$\frac{1}{{k}_{AP}}$，
$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{-\frac{1}{{k}_{AP}}}{{k}_{QF}}$=-$\frac{1}{{k}_{AP}•{k}_{QF}}$，
設Q（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），則k_AP•k_QF=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$•$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-1}$，
=$\frac{3si{n}^{2}θ}{4co{s}^{2}θ+2cosθ-2}$，
=$\frac{3（1-co{s}^{2}θ）}{4co{s}^{2}θ+2cosθ-2}$，
設t=cosθ，t∈（-1，1），
則f（t）=$\frac{3（1-{t}^{2}）}{4{t}^{2}+2t-2}$，
∴$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{QF}}$=$\frac{4{t}^{2}+2t-2}{3（{t}^{2}-1）}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$$•\frac{1}{t-1}$∈（-∞，1），且不等于0．
故答案為：（-∞，0）∪（0，1）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、三角函數求值、函數的性質、換元方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．