Question

7．已知雙曲線$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$，過焦點F₁的弦AB（A、B在雙曲線的同支上）長為8，另一焦點為F₂，則△ABF₂的周長為8$\sqrt{3}$+16．

Answer 1

分析 由雙曲線方程求得a=2$\sqrt{3}$，由雙曲線的定義可得 AF₂+BF₂ =4a+AB，△ABF₂的周長是（ AF₁ +AF₂ ）+（ BF₁+BF₂ ）=（AF₂+BF₂ ）+AB，計算可得答案．

解答 解：由題意可得2a=4$\sqrt{3}$，由雙曲線的定義可得 
AF₂-AF₁=2a，BF₂ -BF₁=2a，∴AF₂+BF₂ -AB=4a，即AF₂+BF₂ =4a+AB．
△ABF₂（F₂為右焦點）的周長是 （ AF₁ +AF₂ ）+（ BF₁+BF₂ ）=（AF₂+BF₂ ）+AB=4a+2AB=8$\sqrt{3}$+16．
故答案為：8$\sqrt{3}$+16．

點評 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，求出AF₂+BF₂ =4a+AB 是解題的關鍵．