Question

已知圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，定直線l經過點A（1，0），若對任意的實數m，定直線l被圓C截得的弦長始終為定值A，求得此定值A等于

 

．

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：計算題,直線與圓

分析：根據圓的方程求出圓心和半徑，由題意可得圓心C到直線l的距離為定值．當直線l的斜率不存在時，經過檢驗不符合條件．當直線l的斜率存在時，直線l的方程為 y-0=k（x-1），圓心C到直線l的距離為定值，即可得出結論．

解答： 解：圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0 即[x-（3-m）]²+（y-2m）²=9，表示以C（3-m，2m）為圓心，半徑等于3的圓．
∵直線l經過點（1，0），對任意的實數m，定直線l被圓C截得的弦長為定值，則圓心C到直線l的距離為定值．
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，圓心C到直線l的距離為|m-3-1|=|m-4|，不是定值．
當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為 y-0=k（x-1），即 kx-y-k=0．
此時，圓心C到直線l的距離 d=

|2k-m(2+k)|

k2+1

為定值，與m無關，
故k=-2，d=

4

5

，
∴A=2

9- 16 5

=

2 145

5

，
故答案為：

2 145

5

．

點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題