Question

已知函數f（x）=sinωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求使不等式f′（x）≥1成立的x的取值集合，其中f′（x）為f（x）的導函數．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,導數的運算

專題：計算題,導數的概念及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）通過函數的圖象，求出函數的周期，求出ω，利用函數經過的特殊點，求出φ，得到函數的解析式．
（2）由f′（x）=2cos（2x+

π

3

）≥1可得2kπ-

π

3

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

3

，k∈Z，即可求出使不等式f′（x）≥1成立的x的取值集合．

解答： 解：（1）∵由圖象可知T=2×（

5π

6

-

π

3

）=π，∴ω=

2π

π

=2．
又點（

π

3

，0）是f（x）=sin（2x+φ）的一個對稱中心，
∴2×

π

3

+φ=kπ，k∈Z，故得：φ=kπ-

2π

3

令k=1，可得φ=

π

3

．
所求函數的解析式為：f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

3

）
∴f′（x）=2cos（2x+

π

3

），
由f′（x）=2cos（2x+

π

3

）≥1可得2kπ-

π

3

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
從而得：x∈[kπ-

π

3

，kπ]，k∈Z．

點評：本題考查函數的圖象與函數的解析式的求法，考查函數的圖象的應用，考查計算能力，屬于基本知識的考查．