Question

已知函數f（x）=cosωx•sin（ωx-

π

6

）+

1

4

（ω＞0）的最小正周期為2π．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）求f（x）在區間[0，π]的最值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=

1

2

sin（2ωx-

π

6

），由T=2π，得ω=

1

2

，于是f(x)=

1

2

sin(x-

π

6

)，令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，從而解得f（x）的單調遞增區間；
（2）由x∈[0，π]，根據函數的圖象和性質即可求得f（x）在區間[0，π]的最值．

解答： 解：f(x)=cosωx•sin(ωx-

π

6

)+

1

4

=cosωx(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)+

1

4

= 3 2 sinωxcosωx- 1 2 cos2ωx+ 1 4 =

1

2

sin（2ωx-

π

6

）．
由T=2π，得ω=

1

2

，于是f(x)=

1

2

sin(x-

π

6

)
（1）令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，從而解得f（x）的單調遞增區間為[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

](k∈Z)
（2）當x=0時，f(x)min=-

1

4

當x=

2π

3

時，f(x)max=

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，函數值域的求法，屬于基本知識的考查．