Question

在平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=

3

，P為平行四邊形內一點，且AP=

3

2

，若

AP

=λ

AB

+μ

AD

（λ，μ∈R），則λ+

3

μ的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：利用數量積定義及其運算性質、不等式的性質即可得出．

解答： 解：∵

AP

=λ

AB

+μ

AD

，
∴|

AP

|2=(λ

AB

+μ

AD

)2，
即(

3

2

)2=λ2|

AB

|2+μ2|

AD

|2+2λμ

AB

•

AD

，
又AB=1，AD=

3

，∠BAD=60°，
∴

AB

•

AD

=|

AB

||

AD

|cos600=

3

2

，
∴

3

4

=λ2+3μ2+

3

λμ≥2

3

λμ+

3

λμ=3

3

λμ，
∴(λ+

3

μ)2=

3

4

+

3

λμ≤

3

4

+

1

4

=1，
∴λ+

3

μ的最大值為1，當且僅當λ=

1

2

，μ=

3

6

取等號．
故答案為：1．

點評：本題考查了數量積定義及其運算性質、不等式的性質、平行四邊形的性質，屬于中檔題．