Question

將半徑為R的4個球完全裝入正四面體中，這個正四面體的高最小值為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：底面放三個鋼球，上再落一個鋼球時體積最小，把鋼球的球心連接，則又可得到一個棱長為2R的小正四面體，正四面體的中心到底面的距離是高的

1

4

，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應該是重合的，先求出小正四面體的中心到底面的距離，再求出正四面體的中心到底面的距離，把此距離乘以4可得正四棱錐的高．

解答： 解：由題意知，底面放三個鋼球，上再落一個鋼球時體積最小．
于是把鋼球的球心連接，則又可得到一個棱長為2R的小正四面體，則不難求出這個小正四面體的高為

2 6

3

R，
且由正四面體的性質可知：正四面體的中心到底面的距離是高的

1

4

，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應該是重合的，
∴小正四面體的中心到底面的距離是

2 6

3

R×

1

4

=

6

6

R，正四面體的中心到底面的距離是（

6

6

+1）R，
所以可知正四棱錐的高的最小值為（

6

6

+1）R×4=（4+

2 6

3

）R，
故答案為：（4+

2 6

3

）R．

點評：小正四面體是由球心構成的，正四面體的中心到底面的距離等于小正四面體的中心到底面的距離再加上小鋼球的半徑．