Question

14．在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上求一點M，使點M到直線x+2y-10=0的距離最小，則點M的坐標為$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

Answer 1

分析 由題意設出與直線x+2y-10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0，聯立直線方程和橢圓方程，利用判別式等于0求得m，進一步求得M的坐標．

解答 解：設與直線x+2y-10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得25x²+18mx+9m²-144=0．
由△=（18m）²-100（9m²-144）=0，得m=±5．
則當m=5時，直線x+2y-5=0與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的切點M到直線x+2y-10=0的距離最小，
此時25x²+18mx+9m²-144=0化為25x²+90x-81=0．
解得x=$\frac{9}{5}$，代入x+2y-5=0得y=$\frac{8}{5}$．
∴點M的坐標為$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．
故答案為：$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了數學轉化思想方法，考查計算能力，是中檔題．