Question

6．下列命題中，正確命題的序號是 ②③⑤⑥．
①過點（1，2）且在坐標軸上的截距相等的直線方程是x+y=3；
②函數f（x）的定義域是R，f（-1）=2，對?x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（-1，+∞）；
③根據表格中的數據，可以判定方程e^x-x-6=0的一個根所在的區間為（2，3）；

x	-1	0	1	2	3
ex	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+6	5	6	7	8	9

④已知雙曲線的漸近線方程是5x±12y=0，則以雙曲線的頂點為焦點，以雙曲線的焦點為頂點的橢圓的離心率e=$\frac{12}{13}$；
⑤設函數f（x）=2lnx+2x-a，若存在b∈[1，e]，使得f[f（b）]=b成立，則實數a的取值范圍是[1，2+e]；
⑥函數f（x）=（1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$）cos2x在區間[-3，3]上零點有5個．

Answer 1

分析 求出過點（1，2）且在坐標軸上的截距相等的直線方程，可判斷①；
求解不等式f（x）＞2x+4，可判斷②；
分析方程e^x-x-6=0根的位置，可判斷③；
求出橢圓的離心率，可判斷④；
求出實數a的范圍，可判斷⑤；
求出函數的零點個數，可判斷⑥．

解答 解：①過點（1，2）且在坐標軸上的截距相等的直線方程是x+y=3或2x-y=0，故錯誤；
②函數f（x）的定義域是R，f（-1）=2，對?x∈R，f′（x）＞2，
g（x）=f（x）-2x滿足g′（x）=f′（x）-2＞0，
即g（x）=f（x）-2x為增函數，且g（-1）=4
則f（x）＞2x+4可化為：g（x）＞4=g（-1）
解得：x∈（-1，+∞），故正確；
③根據表格中的數據，可以判定方程e^x-x-6=0的一個根所在的區間為（2，3），正確；
④已知雙曲線的漸近線方程是5x±12y=0，
當焦點在x軸上時，則以雙曲線的頂點為焦點，以雙曲線的焦點為頂點的橢圓的離心率e=$\frac{12}{13}$；
當焦點在y軸上時，則以雙曲線的頂點為焦點，以雙曲線的焦點為頂點的橢圓的離心率e=$\frac{5}{13}$；
綜上可得：以雙曲線的頂點為焦點，以雙曲線的焦點為頂點的橢圓的離心率e=$\frac{12}{13}$，錯誤；
⑤解：f′（x）=$\frac{2}{x}$+2，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
∴由f[f（b）]=b，得f（b）=b；
則f（x）=x在[1，e]上有根；
即2lnx+2x-a=x；
∴a=2lnx+x；
令h（x）=2lnx+x，h′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0；
∴h（x）在[1，e]上單調遞增；
∴h（x）_min=h（1）=1，h（x）_max=h（e）=2+e；
∴a∈[1，2+e]；
即實數a的取值范圍是[1，2+e]．正確；
⑥由題意得，f（x）=（1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$）cos2x=0，
①當cos2x=0時，由x∈[-3，3]得2x∈[-6，6]，
解得x=$±\frac{π}{4}$或±$\frac{3π}{4}$；
②當1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$=0時，
設g（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，
則g′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹³+x²⁰¹⁴=$\left\{\begin{array}{l}2015，x=-1\\ \frac{1+{x}^{2015}}{1+x}，x≠-1\end{array}\right.$，
∴g′（x）＞0，則g（x）在[-3，3]上單調遞增，
∵g（-3）＜0，g（3）＞0，
∴g（x）在[-3，3]上有且僅有1個零點，
顯然g（$±\frac{π}{4}$）≠0、g（±$\frac{3π}{4}$）≠0，
所以f（x）共有5個零點，正確；
故答案為：②③⑤⑥

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查直線方程，零點個數，抽象不等式的解法等知識點，難度中檔．