Question

5．已知函數f（x）=2e^xln$\sqrt{e}$-kx（e=2.17128…是自然對數的底數）有兩個不同的零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求導f′（x）=a-e^x，由導數判斷函數的單調性，根據圖象與橫軸交點個數即可判定零點個數．

解答 解：函數f（x）=2e^xln$\sqrt{e}$-kx=f（x）=e^x-kx 其定義域為：R
 f′（x）=k-e^x．
當k≤0時，f′（x）＜0，f（x）在R上單調遞減，最多存在一個零點，不滿足條件；
當k＞0時，由f′（x）=0解得x=lnk，
當x＞lnk時，f′（x）＜0，當x＜lnk時，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lnk處取得最大值f（lnk）=alnk-k，
∵f（x）存在兩個零點，
∴f（lnk）=alnk-k＞0，
k＞e，即a的取值范圍是（e，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了導數的綜合應用及零點問題，屬于中檔題