Question

19．橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的右頂點為B，過E的右焦點作斜率為1的直線L與E交于M，N兩點，則△MBN的面積為$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，．

Answer 1

分析 由橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$右焦點（1，0），右頂點（2，0），設直線L的方程為y=x-1，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得丨MN丨，則B到直線L的距離d=$\frac{丨0-2+1丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△MBN的面積S=$\frac{1}{2}$•丨MN丨•d．

解答 解：由題意可知：橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$右焦點（1，0），右頂點（2，0），
設直線L的方程為y=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：7x²-8x-8=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）}$=$\frac{24}{7}$，
則B到直線L的距離d=$\frac{丨0-2+1丨}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
△MBN的面積S=$\frac{1}{2}$•丨MN丨•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{7}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，
∴△MBN的面積為$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，
故答案為：$\frac{6\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離公式，韋達定理及弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．