Question

9．設函數f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若關于x的方程f（x）+x²-3x-a=0在區間[2，4]內恰有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調區間即可；
（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數a的取值范圍．
方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數a的不等式組進行求解．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（1，+∞），
∵f′（x）=2[$\frac{1}{x-1}$-（x-1）]=-$\frac{2x（x-2）}{x-1}$，
∵x＞1，則使f'（x）＞0的x的取值范圍為（1，2），
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
故函數f（x）的單調遞增區間為（1，2），遞減區間是（2，+∞）；
（2）方法1：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0?x+a+1-2ln（x-1）=0．
令g（x）=x+a+1-2ln（x-1），
∵g'（x）=1-$\frac{2}{x-1}$=$\frac{x-3}{x-1}$，且x＞1，
由g'（x）＞0得x＞3，g'（x）＜0得1＜x＜3．
∴g（x）在區間[2，3]內單調遞減，在區間[3，4]內單調遞增，
故f（x）+x²-3x-a=0在區間[2，4]內恰有兩個相異實根
?$\left\{\begin{array}{l}{g（2）≥0}\\{g（3）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{a+3≥0}\\{a+4-2ln2＜0}\\{a+5-2ln3≥0}\end{array}\right.$解得：2ln3-5≤a＜2ln2-4．
綜上所述，a的取值范圍是[2ln3-5，2ln2-4）．
方法2：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0?x+a+1-2ln（x-1）=0．
即a=2ln（x-1）-x-1，令h（x）=2ln（x-1）-x-1，
∵h'（x）=$\frac{2}{x-1}$-1=$\frac{3-x}{x-1}$，且x＞1，
由h'（x）＞0得1＜x＜3，h'（x）＜0得x＞3．
∴h（x）在區間[2，3]內單調遞增，在區間[3，4]內單調遞減．
∵h（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2）＜h（4），
故f（x）+x²-3x-a=0在區間[2，4]內恰有兩個相異實根?h（4）≤a＜h（3）．
即2ln3-5≤a＜2ln2-4．
綜上所述，a的取值范圍是[2ln3-5，2ln2-4）．

點評 本題考查導數的工具作用，考查學生利用導數研究函數的單調性的知識．考查學生對方程、函數、不等式的綜合問題的轉化與化歸思想，將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，屬于綜合題型．