Question

8．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=6，S₆=21
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）求數列{2ⁿa_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設首項為a₁，公差為d，由題意列出方程組，解得即可，
（2）根據錯位相減法求和即可．

解答 解：（1）設首項為a₁，公差為d，S₃=6，S₆=21，
由$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{6{a}_{1}+15d=21}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+1×（n-1）=n，
（2）2ⁿa_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了等差數列的通項公式和錯位相減法求和，屬于中檔題．