Question

10．（1）若x＞-1，求y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（2）若a，b，c都是正數，且a+b+c=1，求證（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc．

Answer 1

分析 （1）x＞-1，可得x+1＞0．變形為函數y=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5，利用基本不等式的性質即可得出．
（2）根據已知條件知：1-a=b+c≥2$\sqrt{bc}$；“=成立b=c”
1-b=a+c≥2$\sqrt{ac}$時取“=成立a=c“；
1-c=a+b$≥2\sqrt{ab}$時取“=成立a=b“；
所以這三個不等式兩邊同時相乘就可以得到要證的結論

解答 解：（1）∵x＞-1，∴x+1＞0．
∴函數y=$\frac{（x+1）^{2}+5（x+1）+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5≥2$\sqrt{（x+1）（\frac{4}{x+1}）}$+5+5=4+5=9，
當且僅當x+1=2，即x=1時取等號．
∴函數y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（x＞-1）的最小值為9；
（2）證明：∵a+b+c=1，a，b，c都是正數；
∴1-a=b+c≥2$\sqrt{bc}$；“=成立b=c”
1-b=a+c≥2$\sqrt{ac}$時取“=成立a=c“；
1-c=a+b$≥2\sqrt{ab}$時取“=成立a=b“；
∴（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc，a=b=c時取“=成立a=b=c=$\frac{1}{3}$“；

點評 本題考查了函數的最小值、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題