Question

19．在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，則△ABC面積的最大值為3．

Answer 1

分析 設AC=x，則AB=2x，根據面積公式得S_△ABC=$\frac{3}{2}$x $\sqrt{1-（\frac{3-{x}^{2}}{2x}）^{2}}$，由余弦定理求得 cosC代入化簡 S_△ABC=$\sqrt{\frac{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}{16}}$，由三角形三邊關系求得 1＜x＜3，由二次函數的性質求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：設AC=x，則AB=2x，根據面積公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{3}{2}$x•sinC=$\frac{3}{2}$x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．
由余弦定理可得 cosC=$\frac{3-{x}^{2}}{2x}$，
∴S_△ABC=$\frac{3}{2}$x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{2}$x $\sqrt{1-（\frac{3-{x}^{2}}{2x}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{144-9（{x}^{2}-5）^{2}}{16}}$．
由三角形三邊關系有：x+2x＞3且x+3＞2x，解得 1＜x＜3，
故當 x=$\sqrt{5}$時，S_△ABC取得最大值3，
故答案為：3．

點評 本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數的單調性和定義域等問題．