Question

1．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且$\sqrt{{S}_{n}}$是1與a_n的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n為數列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和，證明：$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差中項，列出S_n與a_n的關系式，根據${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求解出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）數列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的結構分析，采用裂項相消求數列前n項和T_n，結合數列單調性及簡單的放縮法，求得范圍．

解答 解：（Ⅰ）n=1時，a₁=1--------（1分）
n≥2時，由$\sqrt{{S}_{n}}$是1與a_n的等差中項，
∴$4{S}_{n-1}=（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
又$4{S}_{n}=（{a}_{n}+1）^{2}$，
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=2
∴{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，即a_n=2n-1．--------（6分）
（Ⅱ）∵$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
∴T_n=$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}$．------10
∵n∈N₊
∴T_n＜1
又∵T_n遞增．
∴${T}_{n}≥{T}_{1}=\frac{2}{3}$，
綜上，$\frac{2}{3}≤{T}_{n}＜1$成立．--------（12分）

點評 考查等差中項，前n項和與通項的關系，裂項相消法求前n項和，放縮法求范圍，屬于中檔題．