Question

18．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（-∞，0]上為減函數(shù)，f（$\frac{1}{2}$）=0，則不等式f（log₄x）＞0的解集為（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)在（-∞，0]上為減函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且 f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=0，再根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖可得不等式f（log₄x）＞0，即得log₄x＞$\frac{1}{2}$，或log₄x＜-$\frac{1}{2}$，由此求得x的范圍．

解答 解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（-∞，0]上為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵f（$\frac{1}{2}$）=0，∴f（-$\frac{1}{2}$）=0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖如圖所示：
則由不等式f（log₄x）＞0可得log₄x＞$\frac{1}{2}$，或log₄x＜-$\frac{1}{2}$，
求得x＞2，或 0＜x＜$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集為（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞），
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應用，屬于中檔題．