Question

3．已知函數f（x）=ax-|x+1|（x∈R）．
（1）設函數g（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式；
（2）若函數f（x）有最大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據奇函數的性質得出g（0）=0，再設x＜0，根據奇函數的性質求解析式；
（2）要使函數f（x）有最大值，需$\left\{{\begin{array}{l}{a-1≤0，}&{\;}\\{a+1≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$解出即可．

解答 解：（1）∵g（x）為定義在R上的奇函數，
∴g（-0）=-g（0），∴g（0）=0．
當x＞0時，g（x）=f（x）=（a-1）x-1
設x＜0，則-x＞0．
∴g（x）=-g（-x）=-（a-1）（-x）+1=（a-1）x+1，
∴$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，}&{x＞0}&{\;}\\{0，}&{x=0}&{\;}\\{（a-1）x+1，}&{x＜0}&{\;}\end{array}}\right.$；
（2）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，}&{x≥-1}\\{（a+1）x+1，}&{x＜-1}\end{array}}\right.$注：范圍中的“=”兩段中均可以，但不能漏掉！
要使函數f（x）有最大值，需$\left\{{\begin{array}{l}{a-1≤0，}&{\;}\\{a+1≥0，}&{\;}\end{array}}\right.$
∴-1≤a≤1．
即當a∈[-1，1]時，f（x）有最大值．
故a的取值范圍為[-1，1]．

點評 本題主要考查函數的奇偶性，解析式的求法，函數的最值，屬于中檔題．