Question

12．若-1＜x＜1，則y=$\frac{x}{x-1}$+x的最大值為0．

Answer 1

分析 利用分離常數法化簡解析式，并湊出積為定值，由x的范圍化為正數后，利用基本不等式求出函數的最大值．

解答 解：由題意得，y=$\frac{x}{x-1}$+x=$\frac{x-1+1}{x-1}+x$
=$\frac{1}{x-1}+1+x$=$x-1+\frac{1}{x-1}+2$，
∵-1＜x＜1，∴-2＜x-1＜0，則0＜-（x-1）＜2，
∴$-（x-1）+（-\frac{1}{x-1}）≥2\sqrt{-（x-1）（-\frac{1}{x-1}）}$=2，
則$x-1+\frac{1}{x-1}+2≤-2+2=0$，
當且僅當$x-1=\frac{1}{x-1}$時，此時x=0，取等號，
∴函數的最大值是0，
故答案為：0．

點評 本題考查了基本不等式在求函數最值中的應用，牢記“一正、二定、三相等”是解題的關鍵，考查化簡、變形能力．