Question

1．已知函數f（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）用定義證明f（x）在區間（-∞，+∞）上是增函數；
（3）若對任意的x∈[1，5]，f（x）＞m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數的定義，即可判斷；
（2）根據單調性的定義證明步驟，可得結論；
（3）由（2）知：f（x）為[1，5]上的增函數，$f{（x）_{min}}=\frac{1}{3}$，$m＜\frac{1}{3}$，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為R，$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，
∴f（-x）=f（x），∴f（x）為奇函數．
（2）$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
任取x₁，x₂且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
又${2^{x_1}}+1＞0$，${2^{x_2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為R上的增函數．
（3）由（2）知：f（x）為[1，5]上的增函數，
∴$f{（x）_{min}}=\frac{1}{3}$，∴$m＜\frac{1}{3}$，
∴m的取值范圍為$\left\{{m|m＜\frac{1}{3}}\right\}$．

點評 本題考查函數的單調性與奇偶性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．