Question

20．設F₁、F₂是橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{4}$=1的兩焦點，P為橢圓上的點，若PF₁⊥PF₂，則△PF₁F₂的面積為（　　）

• A． 8
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據橢圓的定義和勾股定理建立關于m、n的方程組，求得|PF₁|•|PF₂|=8，結合直角三角形的面積公式，可得△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{4}$=1，可知a=4，b=2，可得c²=a²-b²=12，即c=2$\sqrt{3}$，
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由橢圓的定義可知：m+n=2a=8，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°，
由勾股定理可知：m²+n²=（2c）²，
∴（m+m）²-2mn=4c²，
則64-2mn=48
解得：mn=8，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×8=4．
故選C．

點評 本題給出橢圓的焦點三角形的面積，考查勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質等知識的應用，屬于基礎題．