Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n+n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依次令n=1，2，3，利用遞推思想能求出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃．
（Ⅱ）由S_n=2a_n+n，可知當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1+n-1，兩式相減整理即可證明數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n=2a_n+n（n∈N^*）．
∴a₁=S₁=2a₁+1，
解得a₁=-1，
S₂=-1+a₂=2a₂+2，
解得a₂=-3，
S₃=-4+a₃=2a₃+3，
解得a₃=-7．
（Ⅱ）證明：∵S_n=2a_n+n．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1+n-1．
兩式相減可得，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1+1
即a_n=2a_n-2a_n-1+1
∴a_n-1=2（a_n-1-1）
∵n=1時(shí)，S₁=2a₁+1
∴a₁=-1，a₁-1=-2
∴數(shù)列{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an-1=-2n，
∴a_n=1-2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．