Question

對(duì)一切實(shí)數(shù)x，當(dāng)a＜b時(shí)，二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的值恒為非負(fù)數(shù)，則b-2a-

c

2

的最大值為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、-1

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先配方，然后利用基本不等式和放縮法求b-2a-

c

2

的最大值．

解答： 解：f（x）=ax²+bx+c=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，
∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的值恒為非負(fù)數(shù)，
∴a＞0且△=b²-4ac≤0，
∵a＜b，∴b＞0，c＞0，
∴2b≤b²+1，（當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí)，等號(hào)成立）
4a+c≥4

ac

（當(dāng)且僅當(dāng)4a=c時(shí)，等號(hào)成立）
∴b-2a-

c

2

=

1

2

（2b-4a-c）=

1

2

[2b-（4a+c）]≤b²+1-4

ac

又∵b²≤4ac
∴b²+1-4

ac

≤4ac+1-4

ac

令t=

ac

則4ac+1-4

ac

=4t²-4t+1=（2t-1）²
由等號(hào)成立的條件b=1，c=4a，b²=4ac得4ac=1，ac=

1

4

，
∴t=

ac

=

1

2

b-2a-

c

2

最大時(shí)有（2t-1）²=0
∴2b-4a-c的最大值的最大值是0，（當(dāng)且僅當(dāng)b²=4ac=1，且c=4a時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式和放縮法求最值，屬于綜合題，有一定難度．