Question

11．設點M（m，0）在橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的長軸上，點P是橢圓上任意一點，當|MP|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，則實數m的取值范圍是[1，4]．

Answer 1

分析 設P（x，y）為橢圓上的動點，由于橢圓方程可得-4≤x≤4．由|MP²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
，結合二次函數的性質及橢圓的性質可知，取得最小值4m≥4，結合點M在橢圓的長軸上，可求m得范圍

解答 解：設P（x，y）為橢圓上的動點，由于橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，故-4≤x≤4．
|MP²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12（1-$\frac{{x}^{2}}{16}$）=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
∵當|MP|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，即當x=4時，|MP|²取得最小值，而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又點M在橢圓的長軸上，所以-4≤m≤4．故實數m的取值范圍是[1，4]．
故答案為：1≤m≤4．

點評 本本題主要考查了橢圓的性質的應用，解題中要注意橢圓的范圍與二次函數的性質的應用是解決本題的關鍵．屬于中檔題．