Question

1．已知cos（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{3}$（$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$），則sin2x-cos2x=（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}-7}{9}$
• B． $\frac{-4\sqrt{2}-7}{9}$
• C． $\frac{4-7\sqrt{2}}{9}$
• D． $\frac{-4-7\sqrt{2}}{9}$

Answer 1

分析 由$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$結合已知條件可求得sin（x+$\frac{π}{4}$ ）的值，進一步求出cos（x+$\frac{π}{4}$ ），再由兩角和與差的余弦公式得到①、②，求解得sinx，cosx的值，再由二倍角公式計算得答案．

解答 解：由$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，cos（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{3}$，
可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=-\frac{1}{3}$，①
得$sin（x+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{3}$．且$x+\frac{π}{4}∈（\frac{3π}{2}，2π）$，
∴$cos（x+\frac{π}{4}）=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，②
由①、②解得$sinx=\frac{-4-\sqrt{2}}{6}$，$cosx=\frac{4-\sqrt{2}}{6}$．
∴sin2x=2sinxcosx=$2×（\frac{-4-\sqrt{2}}{6}）×（\frac{4-\sqrt{2}}{6}）=-\frac{7}{9}$．
cos2x=cos²x-sin²x=$（\frac{4-\sqrt{2}}{6}）^{2}-（\frac{-4-\sqrt{2}}{6}）^{2}=\frac{-4\sqrt{2}}{9}$．
則sin2x-cos2x=$-\frac{7}{9}+\frac{4\sqrt{2}}{9}=\frac{4\sqrt{2}-7}{9}$．
故選：A．x-$\frac{π}{4}$

點評 本題考查三角函數的化簡求值，考查三角函數間的關系式與二倍角公式、兩角和與差的余弦公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．